Решавање система линеарних једначина¶
Циљ ове лекције је да примениш до сада научено да би направио апликацију за графичко решавање система линеарних једначина облика
Свака од ових једначина у координатном систему представља једну праву. Решење система је тачка у којој се ове две праве секу. Твоја апликација треба да омогући кориснику да унесе коефицијенте \(a\), \(b\) и \(c\) за обе једначине, па затим да нацрта координатни систем, обе праве и означи њихову тачку пресека.
Да би решио овај задатак, на форму постави шест TextBox контрола, две Label контроле, две Button контроле и једну Panel контролу, на пример овако:
Да би нацртао праву \(ax + by = c\), потребно је да пронађеш координате две тачке које јој припадају. Најлакши начин је да изразиш \(y\) преко \(x\):
Посебни случајеви су:
ако је \(a = 0\) једначина постаје \(by = c\), односно \(y = c/b\), што је хоризонтална права.
ако је \(b = 0\) једначина постаје \(ax = c\), односно \(x = c/a\), што је вертикална права.
Можеш да користиш Крамерово правило за решавање система. Детерминанта система је:
Решење система (координате пресечне тачке) су:
Ако је \(D = 0\), праве су паралелне (нема решења) или се поклапају (бесконачно много решења). У твом програму, у том случају не треба да црташ тачку пресека.
Програмско решење може да изгледа овако:
using System;
using System.Drawing;
using System.Drawing.Drawing2D;
using System.Windows.Forms;
namespace SistemLinearnihJna
{
public partial class Form1 : Form
{
private struct Jednacina
{
public double A, B, C;
}
private Jednacina? jednacina1 = null;
private Jednacina? jednacina2 = null;
private PointF? tackaPreseka = null;
private bool trebaCrtatiPrave = false;
public Form1()
{
InitializeComponent();
this.pnlCanvas.GetType().GetProperty("DoubleBuffered", System.Reflection.BindingFlags.NonPublic | System.Reflection.BindingFlags.Instance).SetValue(pnlCanvas, true, null);
}
private void pnlCanvas_Paint(object sender, PaintEventArgs e)
{
Graphics g = e.Graphics;
g.SmoothingMode = SmoothingMode.AntiAlias;
NacrtajKoordinatniSistem(g, pnlCanvas.ClientRectangle);
if (trebaCrtatiPrave)
{
if (jednacina1.HasValue)
{
NacrtajPravu(g, pnlCanvas.ClientRectangle, jednacina1.Value, new Pen(Color.Blue, 2));
}
if (jednacina2.HasValue)
{
NacrtajPravu(g, pnlCanvas.ClientRectangle, jednacina2.Value, new Pen(Color.Red, 2));
}
if (tackaPreseka.HasValue)
{
NacrtajPresek(g, pnlCanvas.ClientRectangle, tackaPreseka.Value);
}
}
}
private void NacrtajKoordinatniSistem(Graphics g, Rectangle granice)
{
float centarX = granice.Width / 2f;
float centarY = granice.Height / 2f;
float skala = 20f;
Pen gridPen = new Pen(Color.LightGray, 1);
for (float x = centarX; x < granice.Width; x += skala)
{
g.DrawLine(gridPen, x, 0, x, granice.Height);
g.DrawLine(gridPen, centarX - (x - centarX), 0, centarX - (x - centarX), granice.Height);
}
for (float y = centarY; y < granice.Height; y += skala)
{
g.DrawLine(gridPen, 0, y, granice.Width, y);
g.DrawLine(gridPen, 0, centarY - (y - centarY), granice.Width, centarY - (y - centarY));
}
Pen osaPen = new Pen(Color.Black, 2);
g.DrawLine(osaPen, 0, centarY, granice.Width, centarY);
g.DrawLine(osaPen, centarX, 0, centarX, granice.Height);
}
private void NacrtajPravu(Graphics g, Rectangle granice, Jednacina j, Pen olovka)
{
float centarX = granice.Width / 2f;
float centarY = granice.Height / 2f;
float skala = 20f;
PointF p1 = new PointF();
PointF p2 = new PointF();
if (Math.Abs(j.B) < 1e-9)
{
if (Math.Abs(j.A) < 1e-9)
{
return;
}
float x = (float)(j.C / j.A);
p1.X = centarX + x * skala;
p1.Y = 0;
p2.X = centarX + x * skala;
p2.Y = granice.Height;
}
else
{
float x1_math = -centarX / skala;
float x2_math = (granice.Width - centarX) / skala;
float y1_math = (float)((j.C - j.A * x1_math) / j.B);
float y2_math = (float)((j.C - j.A * x2_math) / j.B);
p1.X = centarX + x1_math * skala;
p1.Y = centarY - y1_math * skala;
p2.X = centarX + x2_math * skala;
p2.Y = centarY - y2_math * skala;
}
g.DrawLine(olovka, p1, p2);
}
private void NacrtajPresek(Graphics g, Rectangle granice, PointF presek)
{
float centarX = granice.Width / 2f;
float centarY = granice.Height / 2f;
float skala = 20f;
float screenX = centarX + presek.X * skala;
float screenY = centarY - presek.Y * skala;
g.FillEllipse(Brushes.DarkGreen, screenX - 5, screenY - 5, 10, 10);
string text = $"Presek: ({presek.X:F2}, {presek.Y:F2})";
Font font = new Font("Arial", 10);
g.DrawString(text, font, Brushes.DarkGreen, screenX + 10, screenY - 10);
}
private PointF? IzracunajPresek(Jednacina j1, Jednacina j2)
{
double D = j1.A * j2.B - j2.A * j1.B;
if (Math.Abs(D) < 1e-9)
{
return null;
}
double Dx = j1.C * j2.B - j2.C * j1.B;
double Dy = j1.A * j2.C - j2.A * j1.C;
float x = (float)(Dx / D);
float y = (float)(Dy / D);
return new PointF(x, y);
}
private void btnNacrtaj_Click(object sender, EventArgs e)
{
try
{
Jednacina j1 = new Jednacina
{
A = double.Parse(txtA1.Text),
B = double.Parse(txtB1.Text),
C = double.Parse(txtC1.Text)
};
Jednacina j2 = new Jednacina
{
A = double.Parse(txtA2.Text),
B = double.Parse(txtB2.Text),
C = double.Parse(txtC2.Text)
};
this.jednacina1 = j1;
this.jednacina2 = j2;
this.tackaPreseka = IzracunajPresek(j1, j2);
this.trebaCrtatiPrave = true;
pnlCanvas.Invalidate();
}
catch (FormatException)
{
MessageBox.Show("Unesite validne brojeve u sva polja.");
Resetuj();
}
}
private void Resetuj()
{
jednacina1 = null;
jednacina2 = null;
tackaPreseka = null;
trebaCrtatiPrave = false;
pnlCanvas.Invalidate();
}
private void btnObrisi_Click(object sender, EventArgs e)
{
txtA1.Clear(); txtB1.Clear(); txtC1.Clear();
txtA2.Clear(); txtB2.Clear(); txtC2.Clear();
Resetuj();
}
}
}
Променљиве на нивоу класе jednacina1, jednacina2, tackaPreseka чувају
податке о унетим једначинама и њиховом решењу. Оне су Nullable (са знаком
?), што значи да могу имати вредност null ако подаци нису унети.
trebaCrtatiPrave је bool променљива која служи као флег. Када је false,
црта се само координатни систем. Када корисник кликне дугме Nacrtaj, поставља
се на true, што pnlCanvas_Paint сигнализира да треба да нацрта праве.
Догађај pnlCanvas_Paint(object sender, PaintEventArgs e) је срце графичке
апликације. Овај догађај се аутоматски покреће сваки пут када треба освежити
изглед pnlCanvas контроле (нпр. при покретању апликације, промени величине
или када му се то експлицитно затражи). e.Graphics даје Graphics објекат,
који је алат за цртање. Увек се прво црта координатни систем, а затим, ако је
trebaCrtatiPrave тачно, цртају се и праве и пресек.
Трансформација координата се врши јер рачунарски екрани имају координатни
почетак (0,0) у горњем левом углу, док је у математици он у центру. У методама
за цртање дефинише се centarX и centarY као центар Panel-а и skala као
фактор зумирања. Формуле за конверзију из математичких (x_m, y_m) у
екранске (x_e, y_e) координате су:
x_e = centarX + x_m * skalay_e = centarY - y_m * skala(минус је ту јер Y оса на екрану расте надоле).
btnNacrtaj_Click чита вредности из TextBox-ова. Користи try-catch блок да
ухвати грешке ако корисник унесе нешто што није број, израчунава пресечну
тачку, поставља trebaCrtatiPrave на true и позива pnlCanvas.Invalidate().
Ова команда говори систему да је садржај панела застарео, те да позове Paint
догађај да га поново нацрта. Никада се не црта директно унутар Click
догађаја.
btnObrisi_Click чисти сва поља за унос, позива помоћну методу Resetuj()
која ресетује све податке и, такође, позива pnlCanvas.Invalidate(), што
резултира поновним цртањем само празног координатног система.
Након што си успешно направио апликацију која користи GDI+ за визуелизацију
математичког проблема и научио како да организујеш кôд за цртање, рукујеш
Paint догађајем и трансформишеш координате, можеш да размислиш о унапређењу
ове апликације. Ево неких идеја:
Покушај да имплементираш зумирање помоћу точкића миша.
Покушај да имплементираш померања координатног система превлачењем миша.
Покушај да имплементираш бољи приказ информација исписивањем једначина поред нацртаних правих, и исписивањем додатних порука (нпр. ако је \(D=0\) прикажи поруку кориснику да су праве паралелне или да се поклапају).
Покушај да имплементираш динамичко ажурирање графикона док корисник уноси вредности у
TextBox-ове коришћењемTextChangedдогађаја.